(x-2)^6+(x-4)^6=64
Решить уравнение

Для решения уравнения $(x - 2)^6 + (x - 4)^6 = 64$, давайте пошагово разберем его.

1. Введение замены
   Для упрощения работы с уравнением, введем подстановку. Пусть:

   $$y = x - 3$$

   Тогда, $x - 2 = y + 1$ и $x - 4 = y - 1$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

   $$(y + 1)^6 + (y - 1)^6 = 64$$

2. Использование бинома Ньютона
   Раскроем обе скобки с помощью формулы бинома Ньютона:

   $$(y + 1)^6 = y^6 + 6y^5 + 15y^4 + 20y^3 + 15y^2 + 6y + 1$$ $$(y - 1)^6 = y^6 - 6y^5 + 15y^4 - 20y^3 + 15y^2 - 6y + 1$$

3. Сложение
   Теперь сложим эти два выражения:

   $$(y + 1)^6 + (y - 1)^6 = (y^6 + 6y^5 + 15y^4 + 20y^3 + 15y^2 + 6y + 1) + (y^6 - 6y^5 + 15y^4 - 20y^3 + 15y^2 - 6y + 1)$$

   Упрощаем:

   • $y^6 + y^6 = 2y^6$
   • $6y^5 - 6y^5 = 0$
   • $15y^4 + 15y^4 = 30y^4$
   • $20y^3 - 20y^3 = 0$
   • $15y^2 + 15y^2 = 30y^2$
   • $6y - 6y = 0$
   • $1 + 1 = 2$

   Получаем:

   $$2y^6 + 30y^4 + 30y^2 + 2 = 64$$

4. Преобразование уравнения
   Упростим уравнение:

   $$2y^6 + 30y^4 + 30y^2 + 2 = 64$$

   Вычтем 64 из обеих частей:

   $$2y^6 + 30y^4 + 30y^2 + 2 - 64 = 0$$

   Получаем:

   $$2y^6 + 30y^4 + 30y^2 - 62 = 0$$

5. Деление на 2
   Чтобы упростить уравнение, поделим обе части на 2:

   $$y^6 + 15y^4 + 15y^2 - 31 = 0$$

6. Подстановка
   Пусть $z = y^2$. Тогда $y^4 = z^2$ и $$