Сформулировать признаки параллельности прямых и доказать один из них.

Признаки параллельности прямых — это те условия, которые позволяют однозначно определить, будут ли две прямые параллельными в пространстве. Существует несколько различных формулировок признаков параллельности, но основные из них следующие:

1. Признак параллельности прямых в плоскости по углам (по углу наклона):
   Если две прямые пересекаются с одной и той же прямой, образуя с этой прямой равные углы, то эти две прямые будут параллельными.

2. Признак параллельности прямых через равенство углов:
   Если две прямые, пересекающие третью прямую, образуют равные внутренние углы с одной из сторон этих прямых, то эти прямые параллельны.

3. Признак параллельности через векторы:
   Если два вектора, определяющие две прямые, пропорциональны (то есть один вектор является скалярным множителем другого), то эти прямые параллельны.

4. Признак параллельности прямых, заданных уравнениями:
   Две прямые будут параллельными, если их уравнения имеют одинаковые коэффициенты перед переменными с одинаковыми знаками. Например, прямые с уравнениями вида $Ax + By = C_1$ и $Ax + By = C_2$ будут параллельными, если коэффициенты $A$ и $B$ одинаковы.

Давайте докажем один из этих признаков. Рассмотрим признак параллельности через углы. Пусть у нас есть две прямые $l_1$ и $l_2$, которые пересекают третью прямую $m$ и образуют с ней углы. Пусть углы между прямыми $l_1$ и $m$, а также между $l_2$ и $m$ равны. Мы докажем, что в этом случае прямые $l_1$ и $l_2$ будут параллельными.

Доказательство:

1. Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекают прямую $m$, и пусть угол между прямой $l_1$ и прямой $m$ равен $\alpha$, а угол между прямой $l_2$ и прямой $m$ также равен $\alpha$.

2. Из геометрии известно, что если две прямые пересекают третью прямую и образуют с ней равные углы, то эти прямые будут параллельны. Это основано на том, что в плоскости прямые, образующие одинаковые углы с третьей прямой, не могут пересекаться между собой и будут двигаться в одном направлении, не изменяя относительного положения.

3. Таким образом, прямые $l_1$ и $l_2$ будут параллельными, потому что они образуют одинаковые углы с одной и той же прямой.

Это доказательство подтверждает, что прямые с одинаковыми углами с одной и той же прямой являются параллельными.