Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки, один из которых равен 27 см. Найдите периметр треугольника, если высота равна 36 см.

Для решения задачи, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где гипотенуза $AB$, а высота $CD$ проведена к гипотенузе. Из условия известно:

1. Высота $CD = 36$ см.

2. Один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен 27 см.

Предположим, что точка $D$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка: $AD = 27$ см и $DB$. Пусть длина $DB$ равна $x$.

Шаг 1: Использование свойства прямоугольного треугольника

Высота, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Эти два треугольника подобны исходному треугольнику. Из свойства подобных треугольников можно записать следующие отношения для сторон:

Подставим известные значения:

Решаем это уравнение:

Таким образом, $DB = 48$ см.

Шаг 2: Нахождение длины гипотенузы

Теперь, зная длины отрезков $AD = 27$ см и $DB = 48$ см, можем найти длину гипотенузы $AB$:

Шаг 3: Нахождение других сторон треугольника

Поскольку высота $CD$ делит треугольник на два прямоугольных треугольника, то для каждого из них можно применить теорему Пифагора.

В треугольнике $ACD$:

В треугольнике $BCD$:

Шаг 4: Нахождение периметра треугольника

Теперь, зная длины всех сторон треугольника $ABC$, можем найти его периметр:

Ответ: Периметр треугольника равен 180 см.