4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. Найти проекцию другого катета.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. Найти гипотенузу.

Задача 4:

Условие задачи:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. Нужно найти проекцию другого катета.

Решение:

1. Обозначим прямоугольный треугольник как $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть $a$ и $b$ — это катеты треугольника, а $c$ — гипотенуза.

2. Поскольку речь идет о высоте, проведенной к гипотенузе, и проекциях катетов на гипотенузу, можно использовать следующие соотношения из геометрии:

   • Высота $h$, проведенная к гипотенузе, связана с катетами и гипотенузой через формулу:

     $$h = \frac{ab}{c}$$

   • Проекции катетов на гипотенузу определяются как:

     $$\text{Проекция катета } a = \frac{a^2}{c}, \quad \text{Проекция катета } b = \frac{b^2}{c}$$

3. Согласно условию задачи, высота $h = 22$ и проекция одного катета $a$ на гипотенузу равна 16. Это означает, что:

   $$\frac{a^2}{c} = 16$$

   Следовательно, $a^2 = 16c$.

4. Зная, что высота $h = 22$, подставляем это значение в формулу для высоты:

   $$\frac{ab}{c} = 22$$

   То есть:

   $$ab = 22c$$

5. Теперь решим систему уравнений:

   $$a^2 = 16c \quad \text{и} \quad ab = 22c$$

6. Из первого уравнения выразим $a$:

   $$a = \sqrt{16c} = 4\sqrt{c}$$

7. Подставляем это значение в уравнение $ab = 22c$:

   $$4\sqrt{c} \cdot b = 22c$$

   Из этого уравнения выразим $b$:

   $$b = \frac{22c}{4\sqrt{c}} = \frac{11\sqrt{c}}{2}$$

8. Проекция катета $b$ на гипотенузу:

   $$\frac{b^2}{c} = \frac{\left( \frac{11\sqrt{c}}{2} \right)^2}{c} = \frac{121c}{4c} = \frac{121}{4} = 30,25$$

Ответ: Проекция другого катета равна 30,25. Таким образом, правильный ответ — A).

Задача 5:

Условие задачи:
Катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. Нужно найти гипотенузу.

Решение:

1. Пусть треугольник имеет катеты $a = 18$ и гипотенузу $c$.

2. Проекция катета на гипотенузу равна 12. Формула для проекции катета $a$ на гипотенузу:

   $$\text{Проекция } a = \frac{a^2}{c}$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{a^2}{c} = 12$$

   То есть:

   $$\frac{18^2}{c} = 12$$ $$\frac{324}{c} = 12$$

   Решаем это уравнение относительно $c$:

   $$c = \frac{324}{12} = 27$$

Ответ: Гипотенуза равна 27.