Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите отношение, в котором данная высота делит площадь треугольника.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о высоте прямоугольного треугольника. Согласно этой теореме, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, такие, что площади двух меньших прямоугольных треугольников, образующихся при проведении высоты, равны.

Обозначим:

• $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

• $c$ — гипотенуза.

• $h$ — высота, проведенная из прямого угла (равна 6 см).

• Отрезки гипотенузы, на которые делит высота, обозначим как $x$ и $y$, где $x > y$.

Из условия задачи известно, что $x = y + 5$.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$.

2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2}ch$, где $h = 6$, то есть $S = 3c$.

Так как высота делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, то площади этих треугольников будут выражаться через их катеты и высоту. Площадь каждого из меньших треугольников будет равна $\frac{1}{2} \times \text{катет} \times 6$.

Теперь применим теорему о высоте прямоугольного треугольника. Она гласит, что произведение отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно квадрату высоты, то есть:

Пользуясь тем, что $x = y + 5$, подставим это в уравнение:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Тогда:

Отрицательный корень отбрасываем, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной. Значит, $y = 4$.

Тогда $x = y + 5 = 4 + 5 = 9$.

Теперь найдем площадь треугольника. Мы знаем, что:

Гипотенуза $c$ равна $x + y = 9 + 4 = 13$.

Таким образом, площадь треугольника:

Теперь, чтобы найти, в каком отношении высота делит площадь треугольника, мы вычислим площади двух меньших треугольников. Площадь одного из них (с основанием $x = 9$) равна:

Площадь другого треугольника (с основанием $y = 4$) равна:

Таким образом, отношение площадей этих треугольников равно:

Ответ: отношение, в котором высота делит площадь треугольника, равно $9:4$.