В кубе ABCDA1B1C1D1 точки К и F середины рёбер А1В1 и В1С1 соответственно М и Р точки пересечения диогоналей граней А1D1DA и DCC1D1 соответственно. Укажите градусные меры углов между указанными прямыми.
KF и MP
KF и BD
DC1 и KF
KM и FP

Давайте разберём этот вопрос пошагово.

1. Угол между прямыми KF и MP:

• Точки K и F — это середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$, соответственно. Прямая $KF$ лежит в верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$.
• Прямая $MP$ — это отрезок, соединяющий точки пересечения диагоналей граней $A_1D_1DA$ и $DCC_1D_1$.
• Эти прямые не лежат в одной плоскости, и для нахождения угла между ними, нужно рассмотреть их взаимное расположение. Поскольку точки $M$ и $P$ лежат на диагоналях вертикальных граней куба, а $K$ и $F$ на верхней грани, угол между прямыми будет острым и его точное значение можно найти через векторы. В большинстве случаев, этот угол оказывается равен $45^\circ$.

2. Угол между KF и BD:

• Прямая $BD$ — это диагональ грани $ABCD$, которая лежит в нижней горизонтальной плоскости куба.
• Прямая $KF$ лежит в верхней горизонтальной грани.
• Поскольку прямые $KF$ и $BD$ параллельны соответствующим горизонтальным плоскостям куба, угол между ними будет $0^\circ$, так как они параллельны.

3. Угол между DC1 и KF:

• Прямая $DC_1$ соединяет вершины $D$ и $C_1$, лежит в пространстве и не принадлежит ни одной из граней куба.
• Прямая $KF$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Чтобы найти угол между ними, нужно рассматривать пространственные векторы. В данном случае угол между этими прямыми обычно равен $90^\circ$, так как одна прямая направлена вертикально, а другая лежит в горизонтальной плоскости.

4. Угол между KM и FP:

• Прямая $KM$ соединяет точку $K$, середину ребра $A_1B_1$, с точкой пересечения диагоналей грани $A_1D_1DA$ — точкой $M$.
• Прямая $FP$ соединяет середину ребра $B_1C_1$ — точку $F$, с точкой пересечения диагоналей грани $DCC_1D_1$ — точкой $P$.
• Прямые $KM$ и $FP$ не лежат в одной плоскости, поэтому угол между ними будет пространственным. В данном случае угол будет равен $90^\circ$, так как прямые пересекаются под прямым углом в пространстве.

Итак, можно подвести итог:

• Угол между $KF$ и $MP$ = $45^\circ$
• Угол между $KF$ и $BD$ = $0^\circ$ (параллельны)
• Угол между $DC_1$ и $KF$ = $90^\circ$
• Угол между $KM$ и $FP$ = $90^\circ$