Найдите площадь правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

Для нахождения площади правильного треугольника, если известен радиус вписанной в него окружности, можно воспользоваться следующим методом.

1. Формула для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

   Площадь правильного треугольника $S$ выражается через радиус вписанной окружности $r$ по формуле:

   $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$$

   где $a$ — длина стороны треугольника.

2. Связь радиуса вписанной окружности и стороны треугольника:

   Радиус вписанной окружности $r$ правильного треугольника также связан с его стороной $a$ через формулу:

   $$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

   Где $r$ — радиус вписанной окружности.

3. Нахождение стороны треугольника:

   Нам дано, что $r = 4$ см. Подставляем это значение в формулу для радиуса:

   $$4 = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

   Умножаем обе стороны на 6:

   $$24 = a \sqrt{3}$$

   Теперь делим обе стороны на $\sqrt{3}$:

   $$a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \, \text{см}.$$

4. Нахождение площади треугольника:

   Теперь, зная сторону $a$, можем найти площадь по формуле:

   $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$$

   Подставляем значение $a = 8\sqrt{3}$:

   $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot (8\sqrt{3})^2$$

   Считаем квадрат:

   $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 192$$

   Умножаем:

   $$S = \frac{576\sqrt{3}}{4} = 144\sqrt{3} \, \text{см}^2.$$

Итак, площадь правильного треугольника с радиусом вписанной окружности 4 см составляет $144\sqrt{3}$ см², что примерно равно 249.44 см².