Найдите косинус угла между векторами p=a+b и q=a-b (вектора) если a= 5, b= 8, угол между векторами a и b= 60°.

Для нахождения косинуса угла между векторами $\mathbf{p} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$ и $\mathbf{q} = \mathbf{a} - \mathbf{b}$, мы будем использовать скалярное произведение и формулы для длины векторов.

Дано:

1. $|\mathbf{a}| = 5$
2. $|\mathbf{b}| = 8$
3. Угол между $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$: $\theta = 60^\circ$

Шаг 1: Формулы для скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов определяется как:

Подставим значения:

Шаг 2: Найдем скалярное произведение $\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}$

Векторы $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ выражены как:

Их скалярное произведение:

Используем распределительное свойство для раскрытия скобок:

Учитывая симметрию скалярного произведения ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$), получаем:

Подставим значения:

Шаг 3: Найдем длины векторов $|\mathbf{p}|$ и $|\mathbf{q}|$

Длина вектора $\mathbf{p}$ находится как:

Раскроем скобки:

Подставим значения:

Аналогично для $|\mathbf{q}|$:

Раскроем скобки:

Подставим значения:

Шаг 4: Косинус угла между $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$

Косинус угла между векто