1. Луч OD проходит между сторонами угла AOB. Найдите величину угла DOB, если ∠AOB = 87°, ∠AOD = 38°. 2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 63°. Найдите градусные меры остальных углов.

3. Один из смежных углов на 52° больше другого. Найдите эти углы.

4. На рисунке AB = CD, AC = CE. Докажи те, что BC = DE.

5. Углы ABC и CBD — смежные, луч BM — биссектриса угла ABC, угол ABM в 2 раза больше угла CBD. Найдите углы ABC и CBD.

6. Точки A, B и C лежат на одной прямой, AB = 15 см, отрезок AC в 4 раза больше отрезка BC. Найдите отрезок AC.

Чтобы найти величину угла DOB, нужно из величины угла AOB вычесть величину угла AOD. То есть, ∠DOB = ∠AOB - ∠AOD = 87° - 38° = 49°. Угол DOB равен 49°.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Противоположные углы при пересечении прямых равны, а смежные углы в сумме составляют 180°. Если один из углов равен 63°, то противоположный ему угол также равен 63°, а два других смежных с ним угла будут равны 180° - 63° = 117° каждый.

Пусть один из смежных углов равен x, тогда другой угол будет x + 52°. Поскольку смежные углы в сумме дают 180°, составим уравнение: x + (x + 52°) = 180°. Решив его, находим x = 64°. Таким образом, углы равны 64° и 116°.

Если AB = CD и AC = CE, то треугольники ABC и DEC являются равнобедренными с общим основанием CE. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, BC = DE, что и требовалось доказать.

Поскольку луч BM является биссектрисой угла ABC, то угол ABM является половиной угла ABC. Если угол ABM в два раза больше угла CBD, то угол ABC в четыре раза больше угла CBD. Пусть угол CBD равен x, тогда угол ABC равен 4x. Поскольку углы ABC и CBD смежные, их сумма равна 180°, то есть x + 4x = 180°. Решив это уравнение, находим x = 36°. Следовательно, углы ABC и CBD равны 144° и 36° соответственно.

Пусть длина отрезка BC равна x см. Тогда длина отрезка AC, которая в 4 раза больше, будет 4x см. Из условия AB = AC - BC известно, что AB = 15 см, следовательно, 4x - x = 15 см, откуда 3x = 15 см, и x = 5 см. Таким образом, длина отрезка AC равна 4x = 4*5 см = 20 см.