Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найти угол между векторами: 1) AD и BB1; 2)BC и D1C1.

Для нахождения углов между векторами в кубе ABCDA1B1C1D1 сначала определим координаты вершин куба. Предположим, что куб имеет длину ребра $a$, и его вершины расположены в следующем порядке:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A1(0, 0, a)$
• $B1(a, 0, a)$
• $C1(a, a, a)$
• $D1(0, a, a)$

Теперь найдем векторы, заданные в каждой из пар, для которых требуется вычислить угол.

1) Угол между векторами $AD$ и $BB1$

• Вектор $AD$:

  $$\vec{AD} = D - A = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0)$$

• Вектор $BB1$:

  $$\vec{BB1} = B1 - B = (a, 0, a) - (a, 0, 0) = (0, 0, a)$$

Теперь найдем угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{BB1}$ с использованием скалярного произведения:

• Длина вектора $\vec{AD}$:

  $$|\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a$$

• Длина вектора $\vec{BB1}$:

  $$|\vec{BB1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a$$

• Скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{BB1}$:

  $$\vec{AD} \cdot \vec{BB1} = (0, a, 0) \cdot (0, 0, a) = 0 \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$$

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

2) Угол между векторами $BC$ и $D1C1$

• Вектор $BC$:

  $$\vec{BC} = C - B = (a, a, 0) - (a, 0, 0) = (0, a, 0)$$

• Вектор $D1C1$:

  $$\vec{D1C1} = C1 - D1 = (a, a, a) - (0, a, a) = (a, 0, 0)$$

Теперь опять найдем угол между векторами $\vec{BC}$