Дан куб ABCDA1B1C1D1. используя метод координат, найдите угол между прямымы AB1 и A1D

Чтобы найти угол между прямыми AB1 и A1D в кубе ABCDA1B1C1D1, сначала нам нужно определить координаты соответствующих точек. Допустим, длина ребра куба равна 1. Тогда координаты точек можно представить следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)

Теперь найдем координаты векторов AB1 и A1D.

Вектор AB1 = B1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1).

Вектор A1D = D - A1 = (0, 1, 0) - (0, 0, 1) = (0, 1, -1).

Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины.

Скалярное произведение векторов AB1 и A1D равно:

$\vec{AB1} \cdot \vec{A1D} = (1 \times 0) + (0 \times 1) + (1 \times -1) = -1$

Длины векторов равны:

$|\vec{AB1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ $|\vec{A1D}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

Теперь мы можем подставить значения в формулу для нахождения угла:

$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}$

Теперь найдем угол $\theta$:

$\theta = \arccos\left(\frac{-1}{2}\right)$

Вычислим этот угол.

Угол между прямыми AB1 и A1D в кубе ABCDA1B1C1D1 составляет примерно 120 градусов. ​​