Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где M-середина ребра DD1

Чтобы найти угол между прямыми $AD_1$ и $BM$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $M$ - середина ребра $DD_1$, нам нужно рассмотреть геометрические свойства куба и использовать методы векторной алгебры.

Сначала определим векторы, соответствующие этим прямым. Вектор $\overrightarrow{AD_1}$ легко найти, так как он является диагональю куба. Вектор $\overrightarrow{BM}$ является вектором, соединяющим центр основания куба с серединой ребра $DD_1$.

Шаг 1: Определение векторов

1. Вектор $\overrightarrow{AD_1}$: Поскольку $AD_1$ - диагональ куба, его координаты можно выразить как разность координат точек $D_1$ и $A$. Предположим, что длина ребра куба равна $a$. Тогда $\overrightarrow{AD_1} = (a, a, a)$.

2. Вектор $\overrightarrow{BM}$: Точка $B$ - это один из углов основания, а $M$ - середина верхнего ребра. Если $A$ имеет координаты (0,0,0), то $B$ имеет координаты $(a, 0, 0)$, а $M$ - $(a/2, a/2, a)$. Таким образом, $\overrightarrow{BM} = (a/2, a/2, a) - (a, 0, 0) = (-a/2, a/2, a)$.

Шаг 2: Нахождение угла между векторами

Угол $\theta$ между двумя векторами $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ можно найти, используя формулу:

$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \|\overrightarrow{v}\|}$

где $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ - скалярное произведение векторов, а $\|\overrightarrow{u}\|$ и $\|\overrightarrow{v}\|$ - их длины.

1. Скалярное произведение $\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BM}$ равно $(a, a, a) \cdot (-a/2, a/2, a) = -a^2/2 + a^2/2 + a^2$.

2. Длина $\overrightarrow{AD_1}$ равна $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$.

3. Длина $\overrightarrow{BM}$ равна $\sqrt{(-a/2)^2 + (a/2)^2 + a^2}$

   0 0 Пожаловаться