Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AB = 16 см, AC = 10 см, угол BAC = 60°. Найти площадь полной поверхности призмы, если диагональ боковой грани AA₁B₁B равна 20 см.

Для нахождения площади полной поверхности прямой треугольной призмы, нужно учесть несколько элементов: площадь оснований (двух треугольников) и площадь боковых граней.

1. Найдем площадь основания призмы.

Основанием призмы является треугольник ABC. Из условия нам даны:

• $AB = 16$ см,

• $AC = 10$ см,

• угол $\angle BAC = 60^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Так как угол $\angle BAC = 60^\circ$, а $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то площадь основания будет:

2. Найдем площадь боковых граней.

Боковые грани — это прямоугольные трапеции, каждая из которых имеет одну из сторон основания и боковую сторону призмы. Из условия нам дано, что диагональ боковой грани $AA_1B_1B = 20$ см. Это диагональ прямоугольного параллелограмма, в котором одна из сторон — это высота призмы.

Для нахождения высоты $h$ призмы используем теорему Пифагора для диагонали боковой грани:

Подставим известные значения:

Теперь, зная высоту призмы, можно вычислить площадь боковых граней. Их четыре: две прямоугольные трапеции с основанием $AB$, и две прямоугольные трапеции с основанием $AC$.

Площадь каждой боковой грани — это прямоугольник, площадь которого равна произведению длины основания на высоту призмы:

• Площадь боковых граней с основанием $AB$:

• Площадь боковых граней с основанием $AC$:

3. Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и четырех боковых граней:

Подставим все значения:

Таким образом, площадь полной поверхности прямой треугольной призмы равна $80\sqrt{3} + 624$ см².