Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определение параметров правильной четырехугольной призмы:
   Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание. Пусть длина стороны квадрата основания этой призмы будет $a$.

2. Связь диагонали с размером основания:
   Диагональ квадрата основания $d$ можно выразить через сторону квадрата как $d = a\sqrt{2}$.

   Из условия задачи известно, что диагональ призмы равна 4 см, и она наклонена под углом 45° к плоскости основания. Это означает, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, одна из сторон которого — это диагональ квадрата основания, а другая — высота призмы. Поскольку угол наклона диагонали к основанию равен 45°, то треугольник является равнобедренным прямоугольным.

3. Нахождение стороны квадрата основания:
   Из того, что диагональ наклонена под углом 45°, можно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза (диагональ призмы) равна 4 см, а катеты — это диагональ основания $a\sqrt{2}$ и высота призмы $h$.

   Так как угол наклона диагонали к основанию 45°, то получаем:

   $$\text{гипотенуза}^2 = \left(a\sqrt{2}\right)^2 + h^2$$

   Подставляем известное значение гипотенузы (4 см):

   $$4^2 = 2a^2 + h^2$$ $$16 = 2a^2 + h^2$$

   Также из того, что угол наклона диагонали к основанию 45°, следует, что высота призмы $h = a$. Подставляем это значение в уравнение:

   $$16 = 2a^2 + a^2$$ $$16 = 3a^2$$ $$a^2 = \frac{16}{3}$$ $$a = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \, \text{см}$$

4. Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму:
   Цилиндр, вписанный в правильную четырехугольную призму, имеет основание в виде круга, вписанного в квадрат. Радиус этого круга $r$ равен половине стороны квадрата основания $r = \frac{a}{2}$.

   Площадь боковой поверхности цилиндра выражается по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = 2\pi r h$$

   Подставляем значение $r = \frac{a}{2}$ и $h = a$:

   $$S_{\text{бок}} = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right) a = \pi a^2$$

   Теперь подставляем $a^2 = \frac{16}{3}$:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \times \frac{16}{3} \approx 16.76 \, \text{см}^2$$

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму, примерно равна 16.76 см².