Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равно 2 на корень из 2 см. Напишите решение и дано

Дано:

• Правильная четырехугольная призма.

• Диагональ основания наклонена под углом 60 градусов к плоскости основания.

• Диагональ основания равна $2\sqrt{2}$ см.

• Необходимо найти площадь сечения, проходящего через одну сторону нижнего основания и противоположную ей сторону верхнего основания.

Решение:

1. Вычислим размер стороны основания призмы.

   В основании правильной четырехугольной призмы находится квадрат. Диагональ квадрата $d$ выражается через сторону квадрата $a$ по формуле:

   $$d = a\sqrt{2}$$

   По условию задачи диагональ основания равна $2\sqrt{2}$ см. Следовательно:

   $$a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

   Разделив обе части на $\sqrt{2}$, получаем:

   $$a = 2 \, \text{см}.$$

   То есть, сторона основания квадрата равна 2 см.

2. Построим сечение.

   Сечение проходит через одну сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания. Это означает, что сечение будет плоскостью, проходящей через две вершины основания квадрата, которые находятся на противоположных сторонах основания (например, через вершины, расположенные на горизонтальной оси).

3. Рассмотрим сечение призмы.

   Сечение будет представлять собой трапецию, в которой одна из сторон будет равна стороне основания квадрата, а другая — высоте призмы. Для нахождения площади сечения нужно найти основание и высоту трапеции.

4. Нахождение высоты сечения.

   Высота сечения — это длина вертикальной стороны призмы, которую мы можем вычислить через угол наклона диагонали основания к плоскости основания. Поскольку диагональ наклонена под углом 60 градусов, можно использовать тригонометрические соотношения, чтобы вычислить высоту.

   Диагональ основания — это гипотенуза прямоугольного треугольника, одна из сторон которого — это высота $h$ призмы, а угол наклона диагонали с плоскостью основания равен 60 градусам. С учетом этого, можно выразить высоту $h$ через гипотенузу $d$ и угол $\theta = 60^\circ$:

   $$h = d \sin(60^\circ)$$

   Подставляем значение диагонали $d = 2\sqrt{2}$ см:

   $$h = 2\sqrt{2} \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \, \text{см}.$$

5. Площадь сечения.

   Площадь сечения будет равна площади трапеции, где одно основание — это длина стороны основания квадрата $a = 2$ см, а второе основание — это высота призмы $h = \sqrt{6}$ см. Формула площади трапеции:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + h) \cdot \text{длина отрезка}.$$

   Где длина отрезка, перпендикулярного сечению, равна основанию квадрата. Мы получаем:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (2 + \sqrt{6}) \cdot 2.$$

   Вычисляем:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2 + \sqrt{6}) = (2 + \sqrt{6}) \, \text{см²}.$$

Ответ: площадь сечения равна $2 + \sqrt{6}$ см².