1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 16 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 30 градусов. Найдите объём цилиндра. 2. Сечение, параллельное оси цилиндра и удалённое от неё на 8 см, имеет площадь 60 см². Высота цилиндра равна 5 см. Найдите объём цилиндра.

1. Для нахождения объёма цилиндра, необходимо использовать формулу:

$V = \pi r^2 h$

где $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

Мы знаем, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 16 см, и она наклонена под углом 30 градусов к плоскости основания. Чтобы найти радиус, нужно учесть, что диагональ осевого сечения — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где одна из катетов — радиус основания цилиндра, а другая — высота цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. С учётом угла наклона можно найти радиус через диагональ и угол наклона:

$r = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.856 \, \text{см}$

Теперь, используя найденный радиус, можно вычислить объём цилиндра, если известна высота $h$. Однако в задаче не указана высота цилиндра, и, следовательно, вычислить объём невозможно без дополнительной информации о высоте.

2. В данном случае сечение, параллельное оси цилиндра, имеет площадь 60 см², и оно расположено на расстоянии 8 см от оси цилиндра. Площадь сечения цилиндра, параллельного оси, равна площади круга, поэтому:

$\pi r^2 = 60$

Из этого уравнения можно найти радиус $r$:

$r^2 = \frac{60}{\pi} \approx 19.098$

$r \approx \sqrt{19.098} \approx 4.37 \, \text{см}$

Теперь, зная радиус, можно найти объём цилиндра, используя формулу для объёма цилиндра:

$V = \pi r^2 h$

Высота цилиндра $h$ равна 5 см, подставляем всё в формулу:

$V = \pi (4.37)^2 \cdot 5 \approx \pi \cdot 19.098 \cdot 5 \approx 300.35 \, \text{см}^3$

Таким образом, объём цилиндра составляет примерно 300.35 см³.