В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите подобие треугольников АВЕ и CBF.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Из вершины $B$ опущены две высоты:

• $BE \perp AD$, причём $E \in AD$;

• $BF \perp CD$, причём $F \in CD$.

Нужно доказать, что $\triangle ABE \sim \triangle CBF$.

1) Найдём по одному прямому углу в каждом треугольнике

Так как $BE$ — высота к стороне $AD$, то

(ведь $AE$ лежит на прямой $AD$). Значит,

Аналогично, $BF$ — высота к стороне $CD$, значит

(поскольку $CF$ лежит на прямой $CD$). Тогда

Итак, в треугольниках $ABE$ и $CBF$ есть равные углы:

2) Докажем равенство ещё одной пары углов

Рассмотрим углы

• Точка $E$ лежит на $AD$, значит луч $AE$ совпадает по направлению с $AD$.

• Точка $F$ лежит на $CD$, значит луч $CF$ совпадает по направлению с $CD$.

Тогда

Но в параллелограмме противоположные стороны параллельны:

Следовательно, угол между прямыми $BA$ и $AD$ равен углу между прямыми $CD$ и $CB$ (так как $BA \parallel CD$, $AD \parallel CB$). А угол между $CD$ и $CB$ — это тот же самый $\angle BCF$ (между $BC$ и $CF$, где $CF$ коллинеарен $CD$).

Значит,

3) Вывод о подобии

Мы получили две пары равных углов:

Следовательно, по признаку подобия по двум углам (AA):

Что и требовалось доказать.