В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно,при этом BH=BE.Докажите,что ABCD-ромб.

Чтобы доказать, что параллелограмм $ABCD$ является ромбом, начнем с анализа его свойств и условий задачи.

Дано:

1. $ABCD$ — параллелограмм.
2. Высоты $BH$ и $BE$ проведены к сторонам $AD$ и $CD$ соответственно.
3. $BH = BE$.

Требуется доказать:

Параллелограмм $ABCD$ является ромбом.

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$).
   • Противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$).

2. Определение высот: Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины к противоположной стороне (или к её продолжению). Следовательно:

   • $BH \perp AD$,
   • $BE \perp CD$.

3. Равенство высот: Условие $BH = BE$ означает, что расстояния от вершины $B$ до сторон $AD$ и $CD$ одинаковы. Это ключевое условие, которое нам нужно использовать.

4. Рассмотрим треугольники: В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $CD$ пересекаются под углом, образуя два смежных треугольника:

   • В треугольнике $ABH$, $BH$ — высота к стороне $AD$.
   • В треугольнике $CBE$, $BE$ — высота к стороне $CD$.

   По условию $BH = BE$, а так как $AB = CD$ (по свойству параллелограмма), можно заключить, что треугольники $ABH$ и $CBE$ равны по двум сторонам ($AB = CD$, $BH = BE$) и углу между ними ($\angle HAB = \angle ECB$, так как они накрест лежащие углы при параллельных $AB$ и $CD$).

5. Следствие из равенства треугольников: Из равенства треугольников $ABH$ и $CBE$ следует, что:

   • $AH = CE$,
   • $AB = BC$.

6. Равенство всех сторон: Так как $AB = BC$ (вытекает из предыдущего шага), а $AD = BC$ и $AB = CD$ (по свойству параллелограмма), получаем, что все стороны параллелограмма равны:

   $$AB = BC = CD = DA.$$

7. Определение ромба: Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм $ABCD$ с равными высотами $BH$ и $BE$ является ромбом.