На рисунке изображен параллелограмм abcd, в нем проведены высоты bh и bm. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

На рисунке с параллелограммом $ABCD$, где проведены высоты $BH$ и $BM$, можно определить и доказать подобие некоторых треугольников. Рассмотрим этот вопрос подробно.

1. Треугольники для анализа

Высоты $BH$ и $BM$ опущены из вершины $B$ соответственно на стороны $AD$ и $CD$. Рассмотрим следующие треугольники:

• $\triangle ABH$ и $\triangle CBM$.

2. Доказательство подобия треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle CBM$

Чтобы доказать подобие, используем признаки подобия треугольников: углы и пропорциональность сторон.

а) Равенство углов

1. В треугольнике $\triangle ABH$ угол $BHA = 90^\circ$, так как $BH$ является высотой, опущенной на сторону $AD$.
2. В треугольнике $\triangle CBM$ угол $BMC = 90^\circ$, так как $BM$ — высота, опущенная на сторону $CD$.
3. Углы $\angle ABH$ и $\angle CBM$ равны как накрест лежащие углы при параллельных сторонах $AD \parallel BC$ и секущей $AB$.

Таким образом, у треугольников есть два равных угла:

• $\angle ABH = \angle CBM$,
• Прямые углы ($90^\circ$).

По первому признаку подобия ($AA$) треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBM$ подобны.

б) Пропорциональность сторон

Дополнительно можно показать, что:

так как стороны $AB$ и $CB$ противоположны и равны (свойство параллелограмма), а $BH$ и $BM$ — высоты, соответствующие этим сторонам.

3. Итог

Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBM$ подобны по первому признаку подобия ($AA$).