4. В параллелограмме ABCD проведена высота BE, причем угол BCD в 4 раза больше угла АВЕ. Найдите угол ABC.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором проведена высота BE. У нас есть следующая информация:

1. Угол $\angle BCD$ в 4 раза больше угла $\angle ABE$.
2. Необходимо найти угол $\angle ABC$.

1. Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, а противоположные углы равны:

• $\angle ABC = \angle CDA$,
• $\angle BCD = \angle DAB$.

Кроме того, сумма смежных углов в параллелограмме равна $180^\circ$:

2. Зависимость углов $\angle BCD$ и $\angle ABE$

Из условия известно, что $\angle BCD = 4 \cdot \angle ABE$. Обозначим:

3. Связь углов в параллелограмме

Согласно свойству параллелограмма:

Подставим $\angle BCD = 4x$:

Так как $\angle ABC = \angle CDA$, а высота BE пересекает сторону AD перпендикулярно, угол $\angle ABE = x$ является острым углом при основании высоты.

4. Решение уравнения

Из предыдущих выводов:

Теперь нужно определить значение $x$. Заметим, что $\angle ABE$ — это часть угла $\angle ABC$, и поскольку $\angle ABC > \angle ABE$, $x$ должно быть малым, чтобы соответствовать геометрии параллелограмма.

Итог

После упрощений: