1)В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит ее пополам и образует со стороной ВС угол 30 градусов, АВ = 12 см. Найдите периметр параллелограмма.
2)В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и С пересекают стороны ВС и AD в точках М и К соответственно так, что АК=4 см, ВМ=6 см. Найдите периметр ABCD.
3)На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О; угол BOD=140 градусов, угол DKB=110 градусов, угол BMC=90 градусов. Найдите углы параллелограмма.

Давайте разберем каждую задачу по отдельности.

Задача 1

В параллелограмме $ABCD$ высота, опущенная на сторону $CD$, делит ее пополам и образует с стороной $BC$ угол $30^\circ$. Известно, что $AB = 12$ см. Найдем периметр параллелограмма.

1. Анализ условия:

   • Высота, проведенная к стороне $CD$, делит ее пополам. Значит, точка, через которую проходит высота, является серединой $CD$.
   • Высота образует угол $30^\circ$ со стороной $BC$, что позволяет использовать тригонометрию для нахождения длины стороны $CD$.

2. Решение: Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, длины сторон $AB$ и $CD$ будут равны. Обозначим длину стороны $CD$ как $a$, а высоту $h$, опущенную на $CD$, — как $h$.

   Поскольку угол между высотой и стороной $BC$ равен $30^\circ$, можем выразить высоту через сторону:

   $$h = AB \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0.5 = 6 \, \text{см}$$

3. Поиск длины стороны $BC$: Так как высота делит $CD$ пополам, и в треугольнике, образованном высотой, $CD$ и частью $BC$, угол составляет $30^\circ$, можем использовать косинус:

   $$BC = AB \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

4. Периметр параллелограмма: Периметр $P$ параллелограмма равен сумме всех его сторон:

   $$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (12 + 6\sqrt{3}) = 24 + 12\sqrt{3}$$

   Таким образом, периметр параллелограмма равен $24 + 12\sqrt{3}$ см.

Задача 2

В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекают стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, при этом $AK = 4$ см, $BM = 6$ см. Найдем периметр параллелограмма.

1. Анализ условия:

   • Параллелограмм $ABCD$ имеет свойства равенства противоположных сторон.
   • Поскольку $AK = 4$ см и $BM = 6$ см, то стороны $AD$ и $BC$ можно выразить через эти отрезки, учитывая, что $AK$ и $BM$ являются частями сторон $AD$ и $BC$.

2. Решение: В параллелограмме биссектрисы делят противоположные стороны пропорционально их длинам. Поскольку биссектрисы делят стороны, то $AD = 2 \cdot AK = 2 \cdot 4 = 8$ см и $BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 6 = 12$ см.

3. Периметр параллелограмма: Периметр $P$ параллелограмма равен сумме всех его сторон:

   $$P = 2 \cdot (AD + BC) = 2 \cdot (8 + 12) = 40 \, \text{см}$$

   Таким образом, периметр параллелограмма равен $40$ см.

Задача 3

На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Отрезки $BM$ и $KD$ пересекаются в точке $O$. Даны углы: $\angle BOD = 140^\circ$, $\angle DKB = 110^\circ$, $\angle BMC = 90^\circ$. Найдем углы параллелограмма.

1. Анализ условия:

   • Углы между сторонами и диагоналями дают информацию о внутренней структуре параллелограмма.
   • В параллелограмме суммы противоположных углов равны $180^\circ$.

2. Решение:

   • Угол $BOD$ — это угол между диагоналями. Из свойств параллелограмма известно, что диагонали делят его на два равных угла, следовательно, этот угол является суммой углов при вершинах $B$ и $D$.
   • Поскольку угол $\angle BMC = 90^\circ$, это подсказывает, что $ABCD$ является прямоугольником (в параллелограмме с одним прямым углом все углы — прямые).

3. Вывод: Все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$.