Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с острым углом 30 градусов. Большая боковая грань — квадрат со стороной 6 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Для нахождения площади полной поверхности прямой призмы, нужно сложить площади всех её граней. Рассмотрим задачу поэтапно.

1. Основание призмы — это прямоугольный треугольник с острым углом 30 градусов. Пусть катеты прямоугольного треугольника имеют длины $a$ и $b$. Из условия задачи известно, что большая боковая грань призмы — это квадрат со стороной 6 см. Эта грань является прямоугольной стороной призмы, а её площадь равна $6 \times 6 = 36$ см². Значит, одна из сторон прямоугольного треугольника равна 6 см.

2. Площадь основания (прямоугольного треугольника):
   Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b$$

   где $a = 6$ см — это длина одного из катетов, а $b$ — длина другого катета. Так как угол между ними равен 30 градусов, можно использовать тригонометрические соотношения для нахождения второго катета $b$.

   Из треугольника с углом 30 градусов мы знаем, что:

   $$b = a \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}.$$

   Теперь, подставляем значения в формулу для площади:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2.$$

3. Боковые грани:
   Площадь каждой боковой грани призмы можно найти по формуле $S_{\text{бок}} = \text{сторона} \times \text{высота}$. Высота призмы — это длина, перпендикулярная основанию.

   Большая боковая грань — квадрат со стороной 6 см, значит, эта сторона является одной из боковых граней. Площадь каждой боковой грани:

   $$S_{\text{бок}} = 6 \times 6 = 36 \text{ см}^2.$$

   Всего у нас 3 боковые грани (кроме основания), значит, их общая площадь:

   $$S_{\text{бок.}} = 3 \times 36 = 108 \text{ см}^2.$$

4. Площадь полной поверхности:
   Площадь полной поверхности прямой призмы равна сумме площадей двух оснований и боковых граней:

   $$S_{\text{пол.}} = 2 \times S_{\text{осн}} + S_{\text{бок.}}.$$

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{пол.}} = 2 \times 6\sqrt{3} + 108 = 12\sqrt{3} + 108 \text{ см}^2.$$

   Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы составляет $12\sqrt{3} + 108$ см².