Основание прямой призмы - ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности - 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основание. И если можно с рисунком!

Для решения этой задачи будем использовать свойства прямой призмы и геометрические соотношения ромба.

Дано

1. Основание призмы — ромб, в котором острый угол $60^\circ$.
2. Боковое ребро призмы $h = 10 \, \text{см}$.
3. Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = 240 \, \text{см}^2$.

Шаг 1: Определим периметр основания призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы рассчитывается как произведение периметра основания на высоту призмы:

где $P$ — периметр ромба (основания призмы).

Подставим известные значения:

Отсюда периметр основания:

Шаг 2: Найдём сторону ромба

Так как основание — ромб, его стороны равны. Обозначим сторону ромба за $a$. Тогда его периметр равен $4a$:

Отсюда:

Шаг 3: Найдём длины диагоналей ромба

Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Известно, что в ромбе диагонали пересекаются под углом $60^\circ$ и делят его на два равных прямоугольных треугольника.

Площадь ромба можно выразить через стороны и синус угла между ними:

С другой стороны, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Приравняем:

Отсюда:

Шаг 4: Найдём меньшую диагональ

Так как ромб симметричен, его диагонали пересекаются под углом $60^\circ$, и меньшая диагональ будет противолежащей острым углам ромба. Воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, образованного половиной диагонали и стороной ромба. Обозначим меньшую диагональ за $d_1$. Тогда половина меньшей диагонали равна $d_1 / 2$.

По теореме косинусов в треугольнике с углом $60^\circ$: