основанием прямой призмы является ромб с острым углом 30° .боковые грани призмы-квадраты. площадь круга, вписанного в основание призмы, равна 5 п см². найдите площадь полной поверхности данной призмы

Для того чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нужно учесть несколько важных моментов:

1. Форма основания призмы — ромб.
2. Боковые грани призмы — квадраты.
3. Площадь круга, вписанного в основание — 5π см².

Шаг 1. Определим сторону ромба

Площадь круга, вписанного в ромб, равна 5π см². Площадь круга можно выразить через радиус $r$ как $S_{круга} = \pi r^2$. Следовательно:

Отсюда $r^2 = 5$, и $r = \sqrt{5}$ см.

Радиус вписанного круга в ромб равен половине длины его диагонали, которая перпендикулярна другой диагонали. Таким образом, радиус вписанного круга можно выразить через сторону ромба. Пусть $a$ — сторона ромба, а $\theta$ — острый угол ромба (в данном случае 30°).

Для ромба с углом 30° и стороной $a$ длина радиуса вписанного круга равна:

Мы уже знаем, что радиус круга равен $\sqrt{5}$, то есть:

Отсюда $a = 4\sqrt{5}$ см — длина стороны ромба.

Шаг 2. Площадь основания призмы

Площадь ромба можно вычислить через его сторону $a$ и угол $\theta$ между диагоналями. Формула площади ромба:

Подставим $a = 4\sqrt{5}$ и $\theta = 30^\circ$:

Шаг 3. Площадь боковых граней

Боковые грани призмы — это квадраты. Мы знаем, что длина ребра призмы равна стороне квадрата. Для того чтобы найти площадь боковых граней, нужно вычислить площадь одного квадрата и умножить на количество боковых граней (их 4). Площадь одного квадрата с длиной стороны $a = 4\sqrt{5}$ будет равна:

Площадь всех боковых граней:

Шаг 4. Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности прямой призмы — это сумма площади двух оснований и площади боковых граней:

Подставим найденные значения:

Ответ: площадь полной поверхности данной прямой призмы равна 400 см².