1) В равностороннем треугольнике АВС высота СН равна 39√3. Найдите стороны этого треугольника. 2) Периметр параллелограмма равен 26. Одна сторона параллелограмма на 5 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. 3) Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 19, а острый угол 60 градусов.

1. Равносторонний треугольник $ABC$, высота $CH = 39\sqrt{3}$. Найти сторону.

В равностороннем треугольнике высота выражается через сторону $a$ так:

По условию $h=39\sqrt{3}$. Подставим:

Сократим на $\sqrt{3}$ (оно не равно нулю):

Тогда

Ответ: все стороны треугольника равны $78$.

2. Периметр параллелограмма $26$. Одна сторона на 5 больше другой. Найти меньшую сторону.

Пусть меньшая сторона равна $x$, тогда большая $x+5$.

Периметр параллелограмма:

По условию $4x+10=26$. Решаем:

Ответ: меньшая сторона равна $4$.

3. Найти меньшую диагональ ромба со стороной $19$ и острым углом $60^\circ$.

В ромбе диагонали можно выразить через сторону $a$ и угол $\alpha$ (острый):

Здесь $a=19$, $\alpha=60^\circ$, а $\cos 60^\circ=\frac12$.

Тогда меньшая диагональ:

(Это логично: при угле $60^\circ$ ромб “близок” к равностороннему треугольнику по разбиению, и одна диагональ получается равной стороне.)

Ответ: меньшая диагональ равна $19$.