1) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180 градусов. Один из углов параллелограмма равен 58 градусам. Найти остальные три угла. 2) Сумма двух углов параллелограмма равна 140 градусов. Найти градусные меры всех углов параллелограмма. 3) Один из углов параллелограмма на 30 градусов больше другого. Найти градусные меры всех углов параллелограмма. 4) Сумма трёх углов параллелограмма равна 310 градусов. Найти градусные меры всех углов параллелограмма. 5) В параллелограмме ABCD угол A = 30 градусам, сторона AB = 24 см. Найти высоту BF. 6) AC — диагональ прямоугольника ABCD, угол CAD = 30 градусов, CD = 10 см. Найти стороны прямоугольника. 7) Сторона ромба равна 8 см, а острый угол 60 градусов. Найти меньшую диагональ и периметр ромба.

1. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180 градусам. Один из углов параллелограмма равен 58 градусам. Найти остальные три угла.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна 180 градусам, так как они являются суплементами (дополняют друг друга до 180°).

Если один угол равен 58 градусам, то второй угол, прилежащий к нему, будет равен:
180° - 58° = 122°.

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то второй угол также равен 58°, а угол, противоположный 122°, также будет равен 122°.

Ответ: углы параллелограмма: 58°, 122°, 58° и 122°.

2. Сумма двух углов параллелограмма равна 140 градусов. Найти градусные меры всех углов параллелограмма.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Если два угла параллелограмма составляют 140°, то угол, противоположный им, будет равен:
180° - 140° = 40°.

Значит, один угол равен 140°, а противоположный ему угол тоже равен 140°. Второй угол будет равен 40°, а противоположный ему угол также 40°.

Ответ: углы параллелограмма: 140°, 40°, 140° и 40°.

3. Один из углов параллелограмма на 30 градусов больше другого. Найти градусные меры всех углов параллелограмма.

Пусть один угол параллелограмма равен x, тогда второй угол будет равен x + 30°.

Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, мы можем составить уравнение:
x + (x + 30°) = 180°.

Решая его:
2x + 30° = 180°
2x = 180° - 30°
2x = 150°
x = 75°.

Значит, один угол равен 75°, а второй угол равен:
75° + 30° = 105°.

Ответ: углы параллелограмма: 75°, 105°, 75° и 105°.

4. Сумма трёх углов параллелограмма равна 310 градусов. Найти градусные меры всех углов параллелограмма.

В параллелограмме сумма всех углов всегда равна 360°, так как сумма углов любого четырёхугольника равна 360°.

Если сумма трёх углов равна 310°, то четвёртый угол будет равен:
360° - 310° = 50°.

Ответ: углы параллелограмма: 50°, 130°, 50° и 130°.

5. В параллелограмме ABCD угол A = 30 градусам, сторона AB = 24 см. Найти высоту BF.

Для нахождения высоты BF используем формулу для площади параллелограмма:
Площадь = основание × высота.

Площадь параллелограмма также можно вычислить через сторону AB и угол A:
Площадь = AB × BF × sin(угол A).

Так как угол A = 30°, а AB = 24 см, мы можем записать:
Площадь = 24 × BF × sin(30°).

Известно, что sin(30°) = 1/2, тогда:
Площадь = 24 × BF × 1/2,
Площадь = 12 × BF.

Так как площадь параллелограмма можно также вычислить как основание × высоту, и площадь равна 12 × BF, для нахождения высоты нужно просто решить это уравнение.

Ответ: высота BF = 12 см.

6. AC — диагональ прямоугольника ABCD, угол CAD = 30 градусов, CD = 10 см. Найти стороны прямоугольника.

В прямоугольнике угол CAD = 30°, и CD = 10 см. Для нахождения сторон прямоугольника можно использовать тригонометрические функции.

Пусть стороны прямоугольника — это AB и BC. По определению синуса для угла CAD:
sin(30°) = AC / AB.

Известно, что sin(30°) = 1/2. Следовательно:
1/2 = AC / AB, что даёт:
AC = AB / 2.

Также, можно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и сторонами прямоугольника:
AC² = AB² + BC².

Так как CD = BC = 10 см, и AB = 2 * AC, можно решить систему уравнений.

Ответ: стороны прямоугольника составляют 10 см и 20 см.

7. Сторона ромба равна 8 см, а острый угол 60 градусов. Найти меньшую диагональ и периметр ромба.

Периметр ромба можно найти по формуле:
Периметр = 4 × сторона.

Так как сторона ромба равна 8 см, то периметр будет:
Периметр = 4 × 8 = 32 см.

Для нахождения меньшей диагонали используем формулу для диагоналей ромба. Меньшая диагональ d1 связана с углом между сторонами ромба (60°) и длиной стороны (8 см) через синус:
d1 = 2 × сторона × sin(60°).

sin(60°) = √3 / 2, тогда:
d1 = 2 × 8 × √3 / 2 = 8√3.

Приближенно, меньшая диагональ будет:
d1 ≈ 8 × 1.732 = 13.856 см.

Ответ: меньшая диагональ ромба ≈ 13.86 см, периметр ромба = 32 см.