2. АВСDA₁B₁C₁D₁ – правильная призма. АВ = 6 см, АА₁ = 8 см. Найти угол между прямыми АА₁ и ВС; площадь полной поверхности призмы.

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для призмы слово «правильная» означает: основание — правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (то есть призма прямая).
Так как основание $ABCD$ — четырёхугольник с равными сторонами, то это квадрат.

Из условия:

1) Угол между прямыми $AA_1$ и $BC$

• Прямая $AA_1$ — боковое ребро правильной (прямой) призмы.

• В прямой призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания:

  $$AA_1 \perp (ABCD)$$

• Ребро $BC$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения (а направление угла между прямыми от этого не меняется: направление $BC$ всё равно лежит в основании).

Следовательно,

Ответ: $90^\circ$.

2) Площадь полной поверхности призмы

Полная поверхность:

Площадь основания

Основание — квадрат со стороной 6:

Тогда две основы:

Боковая поверхность

У прямой призмы:

Периметр квадрата:

Высота $h=AA_1=8$ см, значит:

Полная площадь

Итоговый ответ

• $\angle(AA_1,\,BC)=90^\circ$.

• $S_{\text{полн}} = 264\text{ см}^2$.