Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, если площадь её основания равна

Ответы на вопрос

Отвечает Лавренец Данил.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Нам дана правильная шестиугольная призма с:

Нужно найти площадь полной поверхности $S_\text{полн}$ .

Для правильной шестиугольной призмы:

V = S_\text{осн} \cdot h

где $h$ — высота призмы.

S_\text{полн} = 2 S_\text{осн} + S_\text{бок}

где $S_\text{бок} = P \cdot h$ , а $P$ — периметр основания.

S_\text{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2

Используем объём:

V = S_\text{осн} \cdot h \implies h = \frac{V}{S_\text{осн}} = \frac{324}{54\sqrt{3}}

Считаем:

\frac{324}{54} = 6 \implies h = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см}

Используем формулу площади шестиугольника:

S_\text{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 54\sqrt{3}

Делим обе части на $\sqrt{3}$ :

\frac{3}{2} a^2 = 54 \implies a^2 = \frac{54 \cdot 2}{3} = 36 \implies a = 6 \, \text{см}

P = 6a = 6 \cdot 6 = 36 \, \text{см}

S_\text{бок} = P \cdot h = 36 \cdot 2\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \, \text{см²}

S_\text{полн} = 2 S_\text{осн} + S_\text{бок} = 2 \cdot 54\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 108\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 180\sqrt{3} \, \text{см²}

Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, если площадь её основания равна \(54\sqrt{3}\) см², а объём 324 см³.