Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом α при основании и радиусом вписанной окружности r. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом β. Найдите объём пирамиды.

Пусть основание — равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB\) — основание, \(AC=BC\), а углы при основании равны \(\alpha\). Так как две боковые грани через боковые стороны основания перпендикулярны плоскости основания, вершина пирамиды проектируется в вершину \(C\).

Обозначим высоту основания к стороне \(AB\) через \(H\). Третья боковая грань наклонена к основанию под углом \(\beta\), значит высота пирамиды равна \(h=H\tan\beta\).

Для основания:

\[ r=\frac{H\cos\alpha}{1+\cos\alpha},\quad H=\frac{r(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha}. \]

Площадь основания:

\[ S=\frac{H^2}{\tan\alpha}. \]

Тогда объём пирамиды:

\[ V=\frac{1}{3}Sh=\frac{H^3\tan\beta}{3\tan\alpha}=\frac{r^3(1+\cos\alpha)^3\tan\beta}{3\cos^3\alpha\tan\alpha}. \]

0 0 Пожаловаться