На поверхности шара даны три точки , прямолинейные расстояния между которыми 6 см , 8см , 10см радиус шара 13 см . Найдите расстояние от центра шара до плоскости , проходящей через эти точки.

Для решения задачи найдем расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через три точки на его поверхности. Для этого воспользуемся геометрическими методами и формулами для работы с треугольниками.

Шаг 1. Проверим, лежат ли точки в одной плоскости

Так как три точки даны на поверхности сферы, то они гарантированно лежат в одной плоскости. Прямолинейные расстояния между ними образуют треугольник с длинами сторон 6 см, 8 см и 10 см. Заметим, что эти числа удовлетворяют теореме Пифагора:

Это означает, что треугольник прямоугольный, и мы можем выбрать гипотенузу (10 см) как одну из сторон треугольника.

Шаг 2. Вычислим площадь треугольника

Для нахождения расстояния от центра шара до плоскости нам потребуется площадь треугольника. Так как треугольник прямоугольный, его площадь рассчитывается как:

где $a = 6$ см, $b = 8$ см. Тогда:

Шаг 3. Найдем радиус вписанной окружности треугольника

Для нахождения расстояния от центра сферы до плоскости через три точки нам потребуется радиус вписанной окружности. Радиус $r$ выражается как:

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр треугольника. Полупериметр рассчитывается как:

где $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$. Тогда:

Подставляем значения:

Шаг 4. Найдем расстояние от центра шара до плоскости

Рассмотрим, что плоскость проходит через три точки на сфере радиуса $R = 13$ см. Центр сферы $O$ и плоскость образуют перпендикуляр, который пересекает плоскость в её центре. Расстояние $d$ от центра сферы до плоскости вычисляется по формуле:

где $R = 13$, $r = 2$. Тогда:

Приблизительно:

Ответ

Расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через заданные точки, равно $\sqrt{165}$ см, или примерно $12.85$ см.