Диагонали прямого параллелепипеда образуют с плоскостью основания углы 30° и 45°, а стороны основания равны 6 и 8 см. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда. Н. В. Богомолов. Практические задания по математике.

Пусть (h) — высота параллелепипеда. Проекциями его пространственных диагоналей на плоскость основания являются диагонали основания.

Для каждой пространственной диагонали получаем прямоугольный треугольник, поэтому

[
\tan \alpha=\frac{h}{d},
]

где (d) — соответствующая диагональ основания.

Тогда для углов (30^\circ) и (45^\circ):

[
d_1=\frac{h}{\tan 30^\circ}=h\sqrt3,
\qquad
d_2=\frac{h}{\tan45^\circ}=h.
]

Для диагоналей параллелограмма со сторонами (6) см и (8) см выполняется:

[
d_1^2+d_2^2=2(6^2+8^2)=2(36+64)=200.
]

Подставим найденные выражения:

[
(h\sqrt3)^2+h^2=200,
]

[
3h^2+h^2=200,
]

[
4h^2=200,
\qquad h^2=50,
\qquad h=5\sqrt2\text{ см}.
]

Найдём площадь основания. Если (\varphi) — угол между сторонами основания, то

[
|d_1^2-d_2^2|=4ab|\cos\varphi|.
]

Следовательно,

[
100=4\cdot6\cdot8\cdot|\cos\varphi|,
]

[
|\cos\varphi|=\frac{25}{48}.
]

Тогда

\frac{\sqrt{1679}}{48}.
]

Площадь основания:

[
S_{\text{осн}}=6\cdot8\cdot\sin\varphi=\sqrt{1679}\text{ см}^2.
]

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:

[
S_{\text{бок}}=2(6+8)\cdot5\sqrt2=140\sqrt2\text{ см}^2.
]

Полная поверхность:

[
S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}
=2\sqrt{1679}+140\sqrt2.
]

[
\boxed{S_{\text{полн}}=140\sqrt2+2\sqrt{1679}\text{ см}^2}
]

Приблизительно:

[
S_{\text{полн}}\approx279{,}94\text{ см}^2.
]