Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
а) меньшую высоту параллелограмма;
б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г) площадь поверхности параллелепипеда.

Для решения этой задачи рассмотрим её по частям:

Дано:

• Параллелограмм $ABCD$ — основание прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
• Стороны параллелограмма: $AB = a$, $AD = 2a$.
• Угол между сторонами $AB$ и $AD$ равен $45^\circ$.
• Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма.

Найдём:

1. Меньшую высоту параллелограмма.
2. Угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания.
3. Площадь боковой поверхности параллелепипеда.
4. Площадь полной поверхности параллелепипеда.

Шаг 1: Найдём меньшую высоту параллелограмма (пункт а)

Высоты параллелограмма опускаются на его стороны. Для сторон $AB$ и $AD$ можно найти высоты, используя формулу для площади параллелограмма:

где $\alpha$ — угол между сторонами $AB$ и $AD$.

Так как $\alpha = 45^\circ$, то $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда площадь параллелограмма:

Высота $h_1$, опущенная на сторону $AD$ (равную $2a$), находится по формуле:

Высота $h_2$, опущенная на сторону $AB$ (равную $a$), равна:

Находим, что меньшая из высот — это $h_1 = \frac{a \sqrt{2}}{2}$.

Ответ на пункт а: Меньшая высота параллелограмма равна $\frac{a \sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Найдём угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания (пункт б)

Плоскость $ABC_1$ образует угол с плоскостью основания $ABCD$. Чтобы найти этот угол, нужно рассмотреть угол между нормальными векторами к этим плоскостям.

• Нормальный вектор к плоскости $ABCD$ направлен вдоль высоты параллелепипеда, которая равна $h_1 = \frac{a \sqrt{2}}{2}$.
• Нормальный вектор к плоскости $ABC_1$ направлен вдоль ребра $A_1A$, так как это ребро перпендикулярно основанию.

Так как ребро $A_1A$ является высотой параллелепипеда, то плоскость $ABC_1$ и основание $ABCD$ перпендикулярны друг другу. Следовательно, угол между этими плоскостями равен $90^\circ$.

Ответ на пункт б: Угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания равен $90^\circ$.

Шаг 3: Найдём площадь боковой поверхности параллелепипеда (пункт в)

Боковая поверхность параллелепипеда состоит из четырёх прямоугольников:

1. Два прямоугольника с размерами $a$ и высотой $h_1$