В правильной четырёхугольной призме проведено сечение через диагональ нижнего основания и конец

Ответы на вопрос

Отвечает Колпакова Виолетта.

Разберу конфигурацию через обозначения: возьмём квадратное основание со стороной $a$ , высоту призмы $h$ , а сечение построим через нижнюю диагональ и одну вершину верхнего основания.

Пусть нижнее основание призмы — квадрат $ABCD$ , верхнее — $A_1B_1C_1D_1$ . Сторону основания обозначим через $a$ , высоту призмы — через $h$ .

Так как площадь основания равна $20$ , то

a^2=20.

Проведём сечение через диагональ нижнего основания, например через $AC$ , и конец диагонали верхнего основания, не параллельной $AC$ . В верхнем основании диагональ, не параллельная $AC$ , — это $B_1D_1$ . Возьмём её конец $B_1$ . Тогда сечение — треугольник $ACB_1$ .

Диагональ основания:

AC=a\sqrt2.

Найдём расстояние от точки $B_1$ до прямой $AC$ . В основании расстояние от вершины $B$ до диагонали $AC$ равно

\frac{a}{\sqrt2}.

Точка $B_1$ находится над точкой $B$ на высоте $h$ , поэтому расстояние от $B_1$ до прямой $AC$ равно

\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2+h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2}+h^2}.

Площадь сечения равна площади треугольника $ACB_1$ :

S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot AC\cdot d = \frac12\cdot a\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{a^2}{2}+h^2}.

По условию эта площадь равна $20$ :

20=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{a^2}{2}+h^2}.

Возведём в квадрат:

400=\frac{a^2}{2}\left(\frac{a^2}{2}+h^2\right).

Так как $a^2=20$ , получаем:

400=10(10+h^2),

40=10+h^2,

h^2=30,

h=\sqrt{30}.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

V=S_{\text{осн}}\cdot h=20\sqrt{30}.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия