В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна 6 дм, а гипотенуза равна 12,5 дм. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c=12,5$ дм. Высота, опущенная на гипотенузу, равна $h=6$ дм.

Используем свойство площадей: площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:

и

Так как это одна и та же площадь, получаем:

Умножаем обе части на 2:

Теперь по теореме Пифагора:

Найдём сумму катетов. Возведём её в квадрат:

Подставим найденные значения:

Теперь катеты являются корнями уравнения:

Подставляем значения:

Находим дискриминант:

Тогда:

Следовательно, катеты треугольника равны: