В трапеции ABCD известно, что BC ║ AD, AB ⊥ AD, BC = CD, ∠ABD = 80°. Найдите углы трапеции.

Обозначим углы трапеции как $\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$.

Дано:

• $BC\parallel AD$;

• $AB\perp AD$, значит $\angle A=90^{\circ }$;

• $BC=CD$, значит треугольник $BCD$ равнобедренный;

• $\angle ABD=80^{\circ }$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB\perp AD$, он прямоугольный:

Тогда:

То есть диагональ $BD$ образует с основанием $AD$ угол $10^{\circ }$.

Теперь найдём углы треугольника $BCD$. Так как $BC=CD$, он равнобедренный, поэтому его углы при основании $BD$ равны:

Нужно найти $\angle BDC$. Из условия $BC=CD$ можно получить, что в данном случае угол между $BD$ и $DC$ равен $10^{\circ }$. Тогда:

Следовательно,

и третий угол треугольника $BCD$:

Теперь найдём углы самой трапеции.

Угол $B$ состоит из углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$:

Угол $D$ состоит из $\angle ADB$ и $\angle BDC$:

А угол $C$ уже найден:

Итак, углы трапеции:

Проверка: сумма углов четырёхугольника

что верно.