Даны два параллелограмма ABCD и KMNP. Могут ли одновременно выполняться неравенства: угол A больше угла K и угол B больше угла M?

Нет, такие неравенства одновременно выполняться не могут.

В любом параллелограмме сумма двух соседних углов равна $180^{\circ }$. Поэтому для параллелограмма $ABCD$:

А для параллелограмма $KMNP$ соседние углы также дополняют друг друга до $180^{\circ }$:

Предположим, что оба неравенства верны:

и

Тогда, складывая эти два неравенства, получаем:

Но мы знаем, что обе суммы равны $180^{\circ }$:

Получилось противоречие.

Следовательно, углы $A$ и $B$ не могут одновременно быть больше углов $K$ и $M$. Такие неравенства одновременно невозможны.