На продолжении стороны AD квадрата ABCD за точку D выбрана точка E такая, что отрезок DE = AD.

Ответы на вопрос

Отвечает Дядькина Лера.

Пусть сторона квадрата равна $1$ . Введём координаты:

A (0, 0), B (1, 0), C (1, 1), D (0, 1) .

Точка $E$ лежит на продолжении стороны $A D$ за точку $D$ , причём $D E = A D = 1$ , поэтому

E (0, 2) .

Обозначим координаты точки $F$ через $F (x, y)$ .

Так как $∠ A FE = 9 0^{\circ}$ , векторы $F A$ и $FE$ перпендикулярны:

F A = (- x, - y), FE = (- x, 2 - y) .

Их скалярное произведение равно нулю:

(- x) (- x) + (- y) (2 - y) = 0,

x^{2} - 2 y + y^{2} = 0.

Следовательно,

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1. (1)

Кроме того, по условию $CF = A D = 1$ . Поэтому

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1. (2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

x^{2} - (x - 1)^{2} = 0,

2 x - 1 = 0,

x = \frac{1}{2} .

Подставим это значение в (1):

\frac{1}{4} + (y - 1)^{2} = 1,

(y - 1)^{2} = \frac{3}{4} .

Так как точка $F$ находится внутри квадрата, $0 < y < 1$ , поэтому

y = 1 - \frac{3}{2} .

Теперь найдём угол $∠ A EF$ . Луч $E A$ направлен вертикально вниз. Горизонтальное смещение от $E$ до $F$ равно

\frac{1}{2},

а вертикальное смещение вниз равно

2 - y = 2 - (1 - \frac{3}{2}) = 1 + \frac{3}{2} .

Поэтому

tan ∠ A EF = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 + 3} .

Рационализируем:

\frac{1}{2 + 3} = 2 - 3 .

Но

tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 .

Следовательно,

∠ A EF = 1 5^{\circ} .

На продолжении стороны AD квадрата ABCD за точку D выбрана точка E такая, что отрезок DE = AD. Внутри квадрата нашлась такая точка F, что ∠AFE = 90° и CF = AD. Найдите угол AEF.