Help
№1
На биссектрисе DB равнобедренного треугольника DEF с основанием EF отметили точку A. Докажите, что треугольник AEF равнобедренный.
№2
На высоте CH треугольника ABC отметили точку K. Дока- жите, что если ∠AKH = ∠BKH, то треугольник ABC равнобедренный.
№3
На стороне NP треугольника DNP отметили точку C так, что NC : CP = 3 : 2. Биссектриса NM перпендикулярна отрезку DC. Найдите DN, если известно, что PC = 4 см.
№4
Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 46 см, а основание на 4 см больше боковой стороны.
№5
Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 78 см, а боковая сторона составляет 0,8 основания.

Ответы на задачи:

Задача №1.

На биссектрисе $DB$ равнобедренного треугольника $\triangle DEF$ с основанием $EF$ отметили точку $A$. Доказать, что $\triangle AEF$ равнобедренный.

Доказательство:

1. Поскольку $DB$ является биссектрисой $\triangle DEF$, то углы $\angle EDB$ и $\angle FDB$ равны.
2. Точка $A$ принадлежит биссектрисе, значит, отрезки $AE$ и $AF$ одинаково наклонены к стороне $EF$.
3. Рассмотрим треугольник $\triangle AEF$. Угол между сторонами $AE$ и $AF$ образуется прямой линией $EF$, то есть делится поровну.
4. Следовательно, треугольник $\triangle AEF$ равнобедренный, так как $AE = AF$.

Задача №2.

На высоте $CH$ треугольника $\triangle ABC$ отметили точку $K$. Доказать, что если $\angle AKH = \angle BKH$, то $\triangle ABC$ равнобедренный.

Доказательство:

1. $CH$ — высота, значит, она перпендикулярна основанию $AB$.
2. Точка $K$ на высоте $CH$ образует два угла $\angle AKH$ и $\angle BKH$.
3. Если $\angle AKH = \angle BKH$, то отрезки $AK$ и $BK$ равны, так как равные углы при вершине указывают на равенство соответствующих сторон.
4. Таким образом, $AB$ является основанием равнобедренного треугольника, где $AC = BC$.

Задача №3.

На стороне $NP$ треугольника $\triangle DNP$ отметили точку $C$, так что $NC : CP = 3 : 2$. Биссектриса $NM$ перпендикулярна отрезку $DC$. Найти $DN$, если $PC = 4$ см.

Решение:

1. $NC : CP = 3 : 2$, значит, $NC = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ см.
2. $DC = NC + CP = 6 + 4 = 10$ см.
3. $NM$ перпендикулярна $DC$, следовательно, она делит угол $\angle DNC$ пополам.
4. По теореме биссектрисы, $DN : DC = NM : MC$.
5. Используя пропорции сторон, получаем $DN = 6$.

Задача №4.

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 46 см, а основание на 4 см больше боковой стороны.

Решение:

1. Пусть боковая сторона равна $x$, тогда основание равно $x + 4$.
2. Периметр равен $46$, то есть: $$2x + (x + 4) = 46$$
3. Решим уравнение: $$3x + 4 = 46 \implies 3x = 42 \implies x = 14$$
4. Боковые стороны равны $14$ см, основание равно $14 + 4 = 18$ см.

Ответ: $14, 14, 18$.

Задача №5.

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 78 см, а боковая сторона составляет 0,8 основания.

Решение:

1. Пусть основание равно $x$, тогда боковая сторона равна $0,8x$.
2. Периметр равен $78$, то есть: $$2(0,8x) + x = 78$$
3. Решим уравнение: $$1,6x + x = 78 \implies 2,6x = 78 \implies x = 30$$
4. Основание равно $30$ см, боковые стороны равны $0,8 \times 30 = 24$ см.

Ответ: $24, 24, 30$.