В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковые грани наклонены к нему под углом 60°. Найдите площадь сечения, проведённого через среднюю линию основания параллельно боковой грани.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Рассмотрим боковую грань $SAB$. Средняя линия основания, параллельная $AB$, соединяет середины сторон $AC$ и $BC$.

Обозначим через $D$ середину $AB$, а через $O$ — центр основания. Так как пирамида правильная, $SO\perp ABC$, а $SD$ является высотой боковой грани $SAB$.

Угол между боковой гранью $SAB$ и основанием равен $60^{\circ }$. В сечении плоскостью $SOD$, перпендикулярной $AB$, этот двугранный угол равен

В равностороннем треугольнике $ABC$ расстояние от центра $O$ до стороны $AB$ равно радиусу вписанной окружности:

В прямоугольном треугольнике $SOD$:

Следовательно,

Поэтому площадь боковой грани $SAB$:

Теперь рассмотрим искомое сечение. Плоскость проходит через среднюю линию основания, параллельную $AB$, и параллельна грани $SAB$. Она пересекает рёбра $CA$, $CB$ и $CS$ в их серединах. Поэтому полученное сечение — треугольник, подобный грани $SAB$ с коэффициентом подобия

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

Итак,