В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, нужно выполнить несколько шагов.

Дано:

• Основания пирамиды — два квадрата, сторона большого квадрата равна 8 см, а сторона малого квадрата — 6 см.
• Угол наклона боковых граней к плоскости основания — 60º.

1. Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех трапециевидных боковых граней. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно вычислить площадь одной боковой грани и умножить на 4 (так как граней четыре).

1.1. Высота боковой грани

Для начала найдём высоту боковой грани, которая является расстоянием от вершины боковой грани до основания пирамиды. Эту высоту можно найти, используя угол наклона боковых граней.

Поскольку угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°, то высота боковой грани будет связана с длиной её боковой стороны. Чтобы её найти, воспользуемся свойствами треугольников.

Высота $h_\text{бок}$ боковой грани — это катет прямоугольного треугольника, образованного боковой гранью, высотой и её проекцией на основание. Проекция боковой грани на основание — это половина разности сторон оснований, т.е. $(8 - 6) / 2 = 1$ см.

Так как угол наклона боковой грани составляет 60°, то $h_\text{бок} = 1 \cdot \tan 60^\circ$, где $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Получаем:

1.2. Площадь одной боковой грани

Площадь трапеции можно найти по формуле:

где $a$ и $b$ — это длины оснований трапеции, а $h_\text{бок}$ — высота. В нашем случае основания трапеции — это стороны оснований пирамиды: 6 см и 8 см.

Тогда:

1.3. Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех четырёх боковых граней. Так как у нас четыре боковые грани, то:

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна примерно 48.5 см².