В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, боковые ребра наклонены к основанию под углом 45 градусов. Найти объем пирамиды.

Давайте разберёмся шаг за шагом.

Нам дана правильная треугольная пирамида (тетраэдр с равносторонним основанием):

• Сторона основания $a = 6$.

• Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$.

Надо найти объем пирамиды.

1. Вспомним формулу объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется как:

где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания,

• $h$ — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины к плоскости основания).

2. Площадь основания

Основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 6$.

Площадь равностороннего треугольника:

Подставляем:

3. Связь высоты и бокового ребра

Нам дан угол наклона бокового ребра к основанию: $\alpha = 45^\circ$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и высотой треугольника основания, проведённой к середине стороны.

Для правильной треугольной пирамиды высота пирамиды $h$ и боковое ребро $l$ связаны с половиной стороны основания $r$ (расстояние от центра основания до вершины стороны) так:

Центр основания — точка пересечения медиан. Расстояние от центра до середины стороны (апофема треугольника):

Подставляем $a = 6$:

Так как $\tan 45^\circ = 1$, получаем:

4. Объем пирамиды

Теперь можем найти объем:

✅ Ответ

Объем пирамиды равен 9 кубических единиц.