1) Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.
2) Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм.
3) Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

Обозначим сторону квадрата через a. У квадрата диагональ соединяет две противоположные вершины, а центр квадрата является серединой этой диагонали.

1) Найти площадь квадрата, если радиус описанной окружности равен 2 дм

Радиус описанной окружности — это расстояние от центра квадрата до вершины. Значит, половина диагонали квадрата равна:

Тогда диагональ квадрата:

Диагональ квадрата связана со стороной формулой:

Найдем сторону:

Площадь квадрата:

Ответ: площадь квадрата равна 8 дм².

2) Найти сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм

Расстояние от центра квадрата до вершины — это радиус описанной окружности:

Как и в первом задании:

Так как:

то:

Ответ: сторона квадрата равна $2\sqrt{2}$ дм.

3) Найти радиус вписанной окружности в квадрат, если радиус описанной окружности равен 2 дм

Вписанная окружность в квадрат касается всех его сторон, поэтому ее радиус равен половине стороны квадрата:

Мы уже нашли сторону:

Тогда:

Ответ: радиус вписанной окружности равен $\sqrt{2}$ дм.

Итоговые ответы:

1. 8 дм²

2. $2\sqrt{2}$ дм

3. $\sqrt{2}$ дм