1) В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
2) Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника равен 8 корней из 2 , а радиус вписанной в него окружности 8 см. Найдите : 1. Сторону многоугольника; 2. Количество сторон многоугольника
3) Углы правильного треугольника срезали так, что получили шестиугольник со стороной 8 см. Найдите сторону данного треугольник.

Задача 1:
В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Для решения этой задачи важно вспомнить несколько фактов о правильных многоугольниках и их связи с окружностями:

1. В правильном шестиугольнике все его стороны равны радиусу окружности, в которую он вписан. То есть радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен стороне этого шестиугольника, т.е. радиус $R = 9$ см.

2. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, связана с радиусом вписанной окружности $r$ через формулу:

   $$a = 2r \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

   где $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности.

3. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу описанной окружности шестиугольника, то есть $r = 9$ см.

4. В правильном треугольнике угол при вершине равен 60° (или $\frac{\pi}{3}$ радиан). Подставляем значения в формулу:

   $$a = 2 \cdot 9 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

   Поскольку $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, получаем:

   $$a = 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 18\sqrt{3} \approx 31.18 \, \text{см}.$$

   Ответ: сторона правильного треугольника — $18\sqrt{3}$ см, или примерно 31.18 см.

Задача 2: Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника равен $8\sqrt{2}$, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите:

1. Сторону многоугольника;
2. Количество сторон многоугольника.

Решение:

1. Известно, что радиус описанной окружности равен $R = 8\sqrt{2}$, а радиус вписанной окружности — $r = 8$ см.

2. Для правильного многоугольника (с $n$ сторонами) радиус описанной окружности связан с радиусом вписанной окружности следующим образом:

   $$R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.$$

   Подставляем известные значения $R = 8\sqrt{2}$ и $r = 8$:

   $$8\sqrt{2} = \frac{8}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.$$

   Упростим выражение:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно:

   $$\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}, \quad n = 4.$$

   Таким образом, количество сторон многоугольника $n = 4$. Это квадрат.

3. Теперь найдем сторону этого многоугольника. Для квадрата сторона связана с радиусом описанной окружности формулой:

   $$a = \sqrt{2} \cdot R,$$

   где $a$ — сторона квадрата, $R$ — радиус описанной окружности. Подставляем $R = 8\sqrt{2}$:

   $$a = \sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = 16 \, \text{см}.$$

Ответ:

1. Сторона многоугольника — 16 см.
2. Количество сторон многоугольника — 4 (это квадрат).

Задача 3: Углы правильного треугольника срезали так, что получили шестиугольник со стороной 8 см. Найдите сторону данного треугольника.

Для решения этой задачи следует учесть, что срезанные углы правильного треугольника образуют правильный шестиугольник. Сначала выясним, что представляет собой каждый элемент.

1. Если шестиугольник образуется из правильного треугольника, то радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен радиусу вписанной окружности треугольника.

2. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника.

3. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу его вписанной окружности, который также будет равен радиусу вписанной окружности правильного треугольника. Таким образом, $r = 8$ см (сторона шестиугольника).

4. Подставляем в формулу для радиуса вписанной окружности правильного треугольника:

   $$8=$$