В каждом задании запишите подробное решение.

Ко всем заданиям необходимо выполнить рисунки.

Задание 1.
Задан прямоугольник ABCD. K – середина AB, L – середина BC, M – середина CD, N – середина AD.
а) Докажите, что KLMN – ромб.
б) Найдите периметр и площадь KLMN, если AB = 18 см, BC = 24 см.

Дано:

ABCD — прямоугольник.
K — середина стороны AB.
L — середина стороны BC.
M — середина стороны CD.
N — середина стороны AD.

AB = 18 см, BC = 24 см.

Найти:
а) доказать, что KLMN — ромб;
б) найти периметр и площадь KLMN.

Рисунок:

A---------K---------B
|                   |
|                   |
N                   L
|                   |
|                   |
D---------M---------C

Соединим точки K, L, M, N. Получится четырёхугольник KLMN.

а) Доказательство, что KLMN — ромб

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами прямоугольника.

Так как K и L — середины сторон AB и BC, то:

AK = KB = AB : 2 = 18 : 2 = 9 см,

BL = LC = BC : 2 = 24 : 2 = 12 см.

Рассмотрим треугольник KBL. Он прямоугольный, так как ABCD — прямоугольник, значит угол ABC = 90°.

По теореме Пифагора:

Теперь рассмотрим остальные стороны четырёхугольника KLMN.

Треугольники KBL, LCM, MDN и NAK равны по двум катетам:

• у них одинаковые половины сторон прямоугольника;

• все углы прямые.

Следовательно, их гипотенузы равны:

Получается, что все стороны четырёхугольника KLMN равны.

По определению, четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Следовательно, KLMN — ромб.

б) Нахождение периметра и площади ромба KLMN

Мы уже нашли сторону ромба:

Периметр:

Формула периметра ромба:

где $a$ — сторона ромба.

Периметр ромба KLMN равен 60 см.

Площадь ромба

Диагонали ромба KLMN совпадают с разностями размеров прямоугольника.

Диагональ KM проходит через середины противоположных сторон и равна стороне BC:

Диагональ LN равна стороне AB:

Площадь ромба вычисляется по формуле:

Подставляем значения:

Площадь ромба KLMN равна 216 см².

Ответ:

а) KLMN — ромб, так как все его стороны равны.
б) Периметр ромба: 60 см.
Площадь ромба: 216 см².