ПОМОГИТЕ 1. Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AB = 10 см, BD = 12 см. Найдите периметр треугольника COD.

3. Один из углов ромба равен 64°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK (точка M лежит между точками B и K). Докажите, что BM = DK.

5. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M,
BM : MC = 4 : 3. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 28 см.

6. Через середину K гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке D, а другая — катет BC в точке E. Найдите отрезок DE, если AB = 12 см.

Давайте разберем все задачи по очереди.

1. Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма.

Периметр параллелограмма $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины сторон. Пусть $a$ — меньшая сторона, тогда $b = 3a$. Подставляем в формулу периметра:

Тогда $b = 3a = 27 \, \text{см}$. Ответ: стороны параллелограмма — $9 \, \text{см}$ и $27 \, \text{см}$.

2. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AB = 10 \, \text{см}$, $BD = 12 \, \text{см}$. Найдите периметр треугольника $COD$.

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, $AC = BD = 12 \, \text{см}$, и $AO = CO = 6 \, \text{см}$, $BO = DO = 6 \, \text{см}$. Треугольник $COD$ равнобедренный с боковыми сторонами $CO = DO = 6 \, \text{см}$ и основанием $CD = AB = 10 \, \text{см}$.

Периметр треугольника $COD$:

Ответ: $22 \, \text{см}$.

3. Один из углов ромба равен $64^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

• Один угол ромба равен $64^\circ$, а противоположный ему угол тоже $64^\circ$.
• Смежные углы равны $180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

Диагонали делят углы ромба пополам:

• Угол между стороной ромба и диагональю равен $\frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$ или $\frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$.

Ответ: $32^\circ$ и $58^\circ$.

4. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $\angle BAM = \angle DCK$ (точка $M$ лежит между точками $B$ и $K$). Докажите, что $BM = DK$.

1. Угол $\angle BAM = \angle DCK$ говорит о равенстве треугольников $\triangle BAM$ и $\triangle DCK$ по второму признаку (две стороны параллелограмма равны и углы при них равны).
2. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, поэтому $BD$ делится точкой пересечения диагоналей на два равных отрезка.
3. Поскольку $\triangle BAM \cong \triangle DCK$, то соответствующие стороны $BM$ и $DK$ равны.

Ответ: $BM = DK$.

5. Биссектриса угла $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, $BM : MC = 4 : 3$. Найдите периметр параллелограмма, если $BC = 28 \, \text{см}$.

1. $BM : MC = 4 : 3$, следовательно:

   $$BM = \frac{4}{7} \cdot 28 = 16 \, \text{см}, \quad MC = \frac{3}{7} \cdot 28 = 12 \, \text{см}.$$

2. Стороны $BC$ и $AD$ равны, то есть $BC = AD = 28 \, \text{см}$.

3. Стороны $AB$ и $CD$ равны. Поскольку в параллелограмме сумма противоположных сторон равна, периметр равен:

   $$P = 2(BC + AB) = 2(28 + 28) = 112 \, \text{см}.$$