1) Определите окружность через понятие геометрического места точек.

2) Каким геометрическим местом точек является: а) серединный перпендикуляр, б) биссектриса угла?

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, которые обладают определённым свойством.

1. Определение окружности через понятие геометрического места точек

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной заданной точки, называемой центром окружности.

Расстояние от любой точки окружности до её центра называется радиусом.

Например, если дана точка O и положительное число R, то окружность с центром O и радиусом R состоит из всех точек M плоскости, для которых выполняется равенство:

Таким образом, все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра.

2. Каким геометрическим местом точек являются серединный перпендикуляр и биссектриса угла?

а) Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов данного отрезка.

Например, если дан отрезок AB, то любая точка M, лежащая на серединном перпендикуляре к нему, удовлетворяет условию:

Верно и обратное: если точка M равноудалена от концов отрезка AB, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Серединный перпендикуляр — это прямая, которая проходит через середину отрезка и образует с ним угол 90°.

б) Биссектриса угла

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон.

Например, если дан угол AOB и точка M лежит на его биссектрисе, то расстояния от точки M до сторон OA и OB равны.

При этом расстояние от точки до стороны угла измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, содержащую сторону угла.

Верно и обратное: если точка находится внутри угла и равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Краткий вывод

1. Окружность — геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки (центра).

2. Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

3. Биссектриса угла — геометрическое место точек, расположенных внутри угла и равноудалённых от его сторон.

Главное различие заключается в том, что для окружности рассматривается расстояние до одной фиксированной точки, для серединного перпендикуляра — расстояния до двух концов отрезка, а для биссектрисы — расстояния до двух сторон угла.