Основание пирамиды — правильный треугольник. Одна из боковых граней перпендикулярна к основанию, а две другие наклонены к нему под углом 60°. Под каким углом наклонено к плоскости основания наибольшее боковое ребро?

Дано:

Пирамида $SABC$, основание $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник.

• Боковая грань $SAB$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

• Боковые грани $SAC$ и $SBC$ наклонены к основанию под углом $60^\circ$.

Найти: угол наклона наибольшего бокового ребра к плоскости основания.

Решение

1. Определим положение высоты пирамиды.

Пусть $SH$ — высота пирамиды, то есть $SH\perp(ABC)$.

Так как грань $SAB$ перпендикулярна основанию, точка $H$ лежит на прямой $AB$.

Грани $SAC$ и $SBC$ образуют с основанием одинаковые углы $60^\circ$. Следовательно, расстояния от точки $H$ до прямых $AC$ и $BC$ равны.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, а $H$ лежит на прямой $AB$, получаем, что $H$ — середина $AB$.

Таким образом,

где $a$ — сторона основания.

2. Найдём высоту пирамиды.

Проведём из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к стороне $AC$.

Поскольку $ABC$ — равносторонний треугольник, его высота равна

Точка $H$ — середина $AB$, поэтому

Угол между гранью $SAC$ и основанием равен $60^\circ$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $SHK$:

Тогда

Отсюда

3. Определим наибольшее боковое ребро.

Поскольку $H$ — середина $AB$,

А медиана $CH$ равностороннего треугольника равна

Следовательно,

По теореме Пифагора: