Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах — одна из основных теорем стереометрии, которая устанавливает связь между перпендикулярностью прямых в пространстве и перпендикулярностью их проекций на плоскость.

Эта теорема широко применяется при решении геометрических задач, особенно при нахождении расстояний, углов между прямыми и плоскостями, а также при доказательстве перпендикулярности прямых.

1. Формулировка теоремы

Теорема: Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Проще говоря, если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она будет перпендикулярна и самой наклонной.

naurok.com.ua

Рассмотрим обозначения:

• $\alpha$ — плоскость.

• $AB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, причём $B$ лежит в этой плоскости.

• $AC$ — наклонная к плоскости $\alpha$, причём $C$ лежит в плоскости.

• $BC$ — ортогональная проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.

• $a$ — прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ и проходящая через точку $C$.

Если $a \perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $a \perp AC$.

2. Доказательство теоремы

Дано:

• $AB \perp \alpha$;

• $AC$ — наклонная к плоскости $\alpha$;

• $BC$ — проекция наклонной;

• $a \subset \alpha$;

• $C \in a$;

• $a \perp BC$.

Доказать: $a \perp AC$.

Доказательство:

1. По условию $AB \perp \alpha$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе прямая $AB$ перпендикулярна прямой $a$.

2. По условию $a \perp BC$.

3. Рассмотрим плоскость $ABC$. В ней находятся две пересекающиеся прямые $AB$ и $BC$.

4. Прямая $a$ перпендикулярна обеим этим прямым: $a \perp AB$ и $a \perp BC$.

5. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

6. Поскольку наклонная $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то:

Теорема доказана.

3. Обратная теорема о трёх перпендикулярах

Существует также обратная теорема.

Формулировка: Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на плоскость.

Другими словами:

Если $a \perp AC$, то $a \perp BC$.

Доказательство:

1. Поскольку $AB \perp \alpha$, то $AB \perp a$.

2. По условию $AC \perp a$.

3. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются и лежат в плоскости $ABC$.

4. Следовательно, прямая