Теорема о средней линии треугольника.
Здравствуйте, друзья! Сегодня мне очень нужна ваша помощь по геометрии, а именно - требуется доказать теорему о средней линии треугольника, НО самая соль заключается в том, что это всё требуется доказать как угодно, но только НЕ ЧЕРЕЗ теорему Фалеса и НЕ ЧЕРЕЗ подобие треугольника. Можете использовать хоть многоугольники при доказательстве. Одним словом, как угодно, но только не Фалес и подобие.
P.S. Если кто-то не помнит - Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Понимаю, что тяжело, но заранее благодарна тем смельчакам, которые помогут! :) У меня просто наступил немного тупик.

Докажем теорему о средней линии треугольника через координаты, без теоремы Фалеса и без подобия.

Пусть дан треугольник \( ABC \). Точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \). Нужно доказать, что \( MN \parallel BC \) и \( MN = \frac12 BC \).

Выберем координаты так, чтобы точка \( A \) была началом координат:

\[ A(0;0),\quad B(2x_1;2y_1),\quad C(2x_2;2y_2). \]

Так удобно записать, потому что середины сторон будут иметь простые координаты. Раз \( M \) — середина \( AB \), а \( N \) — середина \( AC \), то:

\[ M(x_1;y_1),\quad N(x_2;y_2). \]

Теперь найдём вектор \( \overrightarrow{MN} \):

\[ \overrightarrow{MN}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1). \]

А вектор \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{BC}=(2x_2-2x_1;\,2y_2-2y_1)=2(x_2-x_1;\,y_2-y_1). \]

Значит,

\[ \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}. \]

Если один вектор в \( 2 \) раза больше другого, то они направлены вдоль параллельных прямых. Поэтому \( MN \parallel BC \). Кроме того, длина \( BC \) в \( 2 \) раза больше длины \( MN \), значит:

\[ MN=\frac12 BC. \]

Теорема доказана: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

0 0 Пожаловаться