1) Найдите углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 15 градусов.
2) В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120 градусов, а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

1. Найдите углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 15°.

Дано:

Треугольник $ABC$, в котором:

• $\angle C=90^\circ$;

• $CH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AB$;

• $CK$ — биссектриса угла $C$;

• $\angle HCK=15^\circ$.

Найти: $\angle A$ и $\angle B$.

Решение:

1. Поскольку биссектриса делит угол пополам, получаем:

2. По условию угол между высотой и биссектрисой равен $15^\circ$. Поэтому угол между высотой и одним из катетов может быть равен:

или

3. Так как $CH$ — высота, то $CH\perp AB$, следовательно, $\angle AHC=90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ сумма острых углов равна $90^\circ$.

Если $\angle ACH=30^\circ$, то:

Тогда в исходном треугольнике:

Если $\angle ACH=60^\circ$, то углы $A$ и $B$ поменяются местами.

В обоих случаях острые углы исходного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $\boxed{30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ}$.

2. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

Дано:

Треугольник $ABC$, в котором:

• $AC=BC$ — боковые стороны;

• $AB=4$ см — основание;

• $\angle C=120^\circ$.

Найти: высоту $AH$, проведённую к прямой $BC$.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Поскольку угол $120^\circ$ не может находиться при основании (иначе сумма двух равных углов была бы больше $180^\circ$), он является углом при вершине.

Найдём углы при основании:

2. Проведём из вершины